Medical Cost · Recolección de datos

Como este será el primer blog que haré sobre esta aventura en el machine learning, y en el que detallo un poco de lo que aprendí en el máster con este Kaggle, verán cosas interactivas para sumergirnos en cada fase y que el proceso sea divertido: tanto la inicial, que es la recolección de datos, como la exploratoria o EDA (Exploratory Data Analysis).

Recuerda que, por ahora, no estás intentando predecir nada todavía. Estás descubriendo cómo se comportan los datos. Pero antes de seguir con este problema de regresión: ¿qué es una regresión?

¿Qué es una regresión?

De forma sencilla, una función lineal se expresa así:

Si queremos estimar cuánto podríamos sacarnos en un examen de la universidad estudiando $x$ horas, la nota que calculamos como estimación (no la real) será $y$, según las horas de estudio que hagamos.

Entonces, si, por ejemplo, no estudio, la nota estimada será de 3 puntos, siendo $b$ la variable de intercepto. Es decir, $b$ es el valor de $y$ cuando $x = 0$.

Ahora imagina que estudié 2 horas en la tarde, pero hice horas extras en la noche. Esas horas extras también cuentan como horas de estudio, así que aumentan $x$. Digamos que por cada hora extra la nota estimada sube 1 punto. Eso es la variable $m$, y a esto le llamamos pendiente, porque sabemos que $y$ cambia porque $x$ cambió.

Entonces, si estudiamos 4 horas, nuestra ecuación quedaría así:

Nota estimada: 7.

De la función lineal a la regresión lineal

Ahora, teniendo esto en cuenta, ¿cuándo una función lineal se vuelve una regresión lineal?

La función lineal $y = mx + b$ es la forma del modelo. Es la regla que relaciona $x$ con $y$. En una regresión lineal no conocemos $m$ ni $b$, ya que los calculamos con datos reales.

Agregamos también un término de error $\varepsilon$, porque los datos reales no caen perfectos sobre la recta:

Para entenderlo mejor: estudiamos 4 horas y sacamos 7, pero un compañero estudió 4 horas y sacó 6, mientras que otro estudió las mismas horas y sacó 8.

La diferencia entre la nota que saca cada compañero y lo que nos dice la recta ($y$) es lo que llamamos el error $\varepsilon$:

Entonces:

• Si la nota real es 7 y la recta dice 7, el error es 0.
• Si la nota real es 6 y la recta dice 7, el error es $-1$.
• Si la nota real es 8 y la recta dice 7, el error es $+1$.

Por eso se agrega $\varepsilon$: porque la realidad nunca es perfecta. La recta solo da el valor estimado, no el exacto.

Medical Cost Personal

Antes de entrenar cualquier modelo hay que tener los datos para poder alimentar tanto $m$ como $b$. En esta etapa lo primero que harías es la recolección: reconocer en cada dato si es un dato de entrada (raw data) o la etiqueta que queremos predecir (labels).

En este caso usaremos el dataset Medical Cost Personal, que contiene información de personas como edad, sexo, IMC, si fuman, región y número de hijos. Esas son las variables de entrada ($x$), o sea, los datos que el modelo usará para aprender.

La etiqueta ($y$) es el costo médico de cada persona, que es lo que queremos predecir.

Entonces:

• $x$: edad, sexo, IMC, fumador, región, hijos.
• $y$: costo médico.

Con esos datos, la regresión lineal buscará los valores de $m$ y $b$ que mejor relacionen las entradas con el costo médico.

Descargar el dataset desde Kaggle

Hay varias formas de importar los datos que queremos: desde Drive, desde nuestro equipo o, en nuestro caso, desde Kaggle. Importamos la librería de Google Colab para usar su clase files e instalamos la librería de Kaggle para descargar el dataset que está en la plataforma.

from google.colab import files
!pip install -q kaggle

Luego subimos nuestro archivo access_token para poder usar la librería de Kaggle (lo encuentran en https://www.kaggle.com/settings/api). Para esto usamos files y su función upload: al ejecutarla, nos pedirá que subamos un archivo.

uploaded = files.upload()

access_token(n/a) - 38 bytes, last modified: 28/9/2026 - 100% done
Saving access_token to access_token

Movemos el access token a la carpeta .kaggle de nuestro root.

!mkdir /root/.kaggle
!mv access_token /root/.kaggle/access_token

Y ahora, con el comando kaggle, descargamos nuestro dataset mirichoi0218/insurance.

!kaggle datasets download -d mirichoi0218/insurance

Warning: Looks like you're using an outdated `kaggle` version (installed: 2.0.2), please consider upgrading to the latest version (2.2.2)
Dataset URL: https://www.kaggle.com/datasets/mirichoi0218/insurance
License(s): DbCL-1.0
Downloading insurance.zip to /content
100% 16.0k/16.0k [00:00<00:00, 27.1MB/s]

Cuando tengamos el zip, lo descomprimimos.

!unzip insurance.zip

Leer el CSV

Ahora, entrando en la parte exploratoria, usaremos pandas: una biblioteca que convierte datos crudos en tablas manejables (los DataFrames, tablas bidimensionales parecidas a las de Excel, con filas y columnas) para limpiar, filtrar, agrupar, combinar y analizar información con pocas líneas de código.

import pandas as pd

insurance_data = pd.read_csv("./insurance.csv")

insurance_data

Datos en el mundo real

Algo importante: en un caso real, la recolección de datos rara vez es tan sencilla. Puede que la empresa o la institución no tenga sus datos ordenados, o que ni siquiera tenga claro qué información tiene, y entonces te tocará buscarlos, organizarlos y sanear esos datos antes de poder hacer el EDA. Pueden venir en formatos distintos (CSV, Excel, SQL) y traer valores nulos, filas duplicadas, escalas diferentes o variables que repiten la misma información. Aquí trabajamos con un dataset de Kaggle que ya viene organizado y trae lo necesario, así que por ahora solo nos preocupa descargarlo; después entramos en la fase exploratoria y ahí analizamos los datos.

Con pandas conviertes esos datos crudos en un DataFrame (la tabla manejable). Lo usas para:

• Limpiar: quitar nulos y corregir tipos de datos.
• Filtrar y organizar: quedarte solo con las columnas útiles.
• Analizar: ver promedios, distribuciones y correlaciones.
• Normalizar o estandarizar: poner todas las variables en la misma escala.

Cuando hayamos hecho esto, podemos dividir los datos en dos partes. La primera es el conjunto de entrenamiento (training set): la porción más grande de tus datos (normalmente el 70 % u 80 %). Son los datos que el algoritmo "ve" y estudia para aprender los patrones, como cuando le das a un estudiante los libros y apuntes para que estudie. El modelo ajusta sus parámetros internos a partir de estos datos.

La segunda es el conjunto de prueba (test set): la porción restante (el 20 % o 30 %). Estos datos se guardan bajo llave y el modelo nunca los ve durante el entrenamiento. Se usan al final para evaluar qué tan bien aprendió, como un examen final con preguntas que no estaban en los apuntes, para ver si el estudiante de verdad entendió la materia o solo memorizó.

¿Por qué es tan importante hacer esta división?

Imagina que entrenas el modelo con todos tus datos y luego lo evalúas con esos mismos datos. El modelo va a acertar casi todo, pero no porque sea inteligente, sino porque ya vio las respuestas. Esto se llama sobreajuste (overfitting). Al separar un conjunto de prueba, te aseguras de que el modelo pueda generalizar y funcione bien con datos nuevos del mundo real.

• Train: estudiar (ver y aprender).
• Test: el examen final (evaluar con datos que nunca vio).

Análisis exploratorio

Entrando ahora en detalle, estos son nuestros datos:

insurance_data.describe().transpose()

Análisis descriptivo del conjunto de datos de seguros

describe() resume cada columna numérica en ocho números. Leídos con nuestros datos:

• Cuántos datos hay (count). Hay 1338 registros en cada una de las columnas numéricas (age, bmi, children, charges), así que no falta ningún valor en ellas.
• El promedio (mean).
  • La edad promedio es de unos 39 años.
  • El índice de masa corporal (IMC, bmi) promedio es de 30.66, que técnicamente ya cae en el rango de obesidad (30 o más).
  • En promedio, cada asegurado tiene 1 hijo.
  • El costo médico promedio es de $13,270.42.
• La dispersión (std). Mide cuánto se alejan los datos del promedio. En la edad es de 14.05 años: la mayoría de las personas tiene entre 25 y 53 años, es decir, el promedio ± la desviación estándar.
• Los mínimos (min). La persona más joven tiene 18 años y el costo más bajo es de $1,121.87.
• La mediana (50%). Es el valor justo en medio de los datos ordenados: la mitad de las personas tiene 39 años o menos y la otra mitad, 39 o más. Como es casi igual a la media (39.2), la edad se reparte de forma bastante simétrica.
• Los cuartiles (25% y 75%). El 25 % más joven tiene 27 años o menos, y el 75 % tiene 51 años o menos, así que solo una cuarta parte supera los 51.

El costo no se comporta igual: su mediana ($9,382.03) queda muy por debajo de su media ($13,270.42). Eso pasa cuando unos pocos costos muy altos arrastran el promedio hacia arriba, y es la primera pista de algo que veremos más adelante en el histograma.

Para saber, como mencionamos antes, si tenemos valores nulos o vacíos, con pandas también podemos revisarlos y tratarlos.

insurance_data.isnull().sum()

age         0
sex         0
bmi         0
children    0
smoker      0
region      0
charges     0
dtype: int64

Edad contra costo

En la fase exploratoria, mientras analizamos los datos, también conviene tener una idea más visual de lo que está pasando. Para esto tenemos Matplotlib (una librería para crear gráficas a bajo nivel, poniendo títulos, barras, líneas, etc.) y Seaborn, una capa de alto nivel sobre Matplotlib en la que las gráficas complejas ya vienen preparadas para usarse en pocas líneas de código.

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

sns.set(style="darkgrid")
sns.regplot(x="age", y="charges", data=insurance_data)

<Axes: xlabel='age', ylabel='charges'>

Entonces sns.regplot(x="age", y="charges", data=insurance_data) hace dos cosas:

1. Dibuja cada persona como un punto: la edad en el eje horizontal y el costo médico en el vertical.
2. Ajusta la recta que mejor se pega a esos puntos, mostrando la tendencia entre edad y costo.

Y esa recta es justamente la forma $y = mx + b$ que veníamos viendo:

• $x$ (edad): es la variable de entrada, la que ya conoces y usas para predecir.
• $y$ (charges): es la etiqueta, lo que quieres predecir.

Preguntas

¿A mayor edad, mayores son los costos médicos? Si la recta va hacia arriba (pendiente positiva), la respuesta es sí: a mayor edad, mayor costo médico estimado. Si fuera plana, no habría relación.

¿Qué tan fuerte es esa relación? Si los puntos están muy pegados a la recta, la relación es fuerte; si están muy dispersos, es débil. Por ejemplo, para una persona de 20 años la recta estima unos 8 mil, pero entre los 18 y los 22 años hay quien paga casi 45 mil. Pasa el puntero por los puntos de la gráfica para ver cuánto se aleja cada persona de la recta.

¿Hay valores atípicos? Los puntos que se alejan mucho de la recta avisan de posibles errores o de casos especiales. Y sí los hay: personas jóvenes con costos altísimos (quizás fuman o tienen alguna enfermedad) y personas mayores con costos bajos. Con esto vemos que la edad por sí sola no basta para predecir el costo médico.

Tipos de variables

insurance_data.dtypes

age           int64
sex          object
bmi         float64
children      int64
smoker       object
region       object
charges     float64
dtype: object

Para poder hacernos más preguntas como estas, primero identificamos los tipos de variables que tenemos.

Primera separación: las variables cuantitativas, que se expresan como valores numéricos:

• age
• bmi
• children
• charges

Luego, las variables cualitativas, que se expresan por categorías o etiquetas:

• smoker (sí / no)
• region (noreste, noroeste, sureste, suroeste)
• sex (male / female)

Distribución del costo

Por ejemplo, para entender cómo se distribuye el gasto médico, agrupamos los valores de charges en intervalos (bins) en el eje $x$, y en el eje $y$ contamos cuántas personas caen en cada intervalo.

sns.histplot(data=insurance_data, x="charges", bins=30, kde=True)
plt.title("Distribución del costo médico")
plt.xlabel("Costo")
plt.ylabel("Frecuencia")
plt.show()

Este histograma ayuda a entender por qué la regresión lineal simple (edad contra costo) tenía tanto error. En la dispersión de edad contra costo vimos muchos puntos lejos de la recta; esas diferencias son el error $\varepsilon$.

En el histograma se ven dos picos. El eje $y$ (frecuencia) indica cuántas personas caen en cada rango de costo. Por ejemplo, la barra más alta, con unas 200 personas, está en los costos más bajos (hasta unos 3,200), y más de la mitad de las personas (712 de 1338) paga menos de 10,000. Luego la frecuencia baja y vuelve a subir, formando un segundo pico entre 30,000 y 45,000.

¿Por qué hay dos picos?

Probablemente el dataset mezcla dos poblaciones:

• Pico izquierdo: no fumadores, con costos médicos bajos.
• Pico derecho: fumadores, con costos médicos más altos.

Como solo usamos la edad, sospechamos que falta una variable importante: fumador. Un fumador joven puede tener un costo alto, y un no fumador mayor, un costo bajo. Por eso el modelo $y = mx + b$ con solo la edad falla tanto.

Para mejorarlo, podríamos pasar a una regresión lineal múltiple: la misma idea de la recta, pero con más de una variable de entrada.

$\beta_0$ cumple el papel de $b$ (el intercepto), y cada $\beta_1, \beta_2, \dots$ es como una $m$ propia de cada variable: cuánto sube el costo por cada año de edad, o por fumar. Por ahora esto es solo una hipótesis más; la pondremos a prueba cuando entrenemos el modelo.

Para eso, fumador se codifica como 0 o 1. Haremos lo mismo con otras variables, como sex, que es categórica (male o female) y también puede codificarse como 0 o 1.

from sklearn.preprocessing import LabelEncoder, OneHotEncoder
from sklearn.compose import ColumnTransformer

LE = LabelEncoder()
insurance_data["smoker"] = LE.fit_transform(insurance_data["smoker"])
insurance_data["sex"] = LE.fit_transform(insurance_data["sex"])

# OneHot para region
ct = ColumnTransformer(
    transformers=[("region", OneHotEncoder(drop="first"), ["region"])],
    remainder="passthrough"
)

• smoker y sex → LabelEncoder está bien, porque son binarias (0 / 1).
• region → mejor OneHotEncoder, que convierte una variable categórica en varias columnas de 0 y 1, una por cada categoría.

Con drop="first" además se quita la primera columna (noreste): una fila con 0 en las otras tres ya significa noreste, así que esa columna no aportaba nada nuevo.

En cambio, con LabelEncoder quedaría:

noreste  → 0
noroeste → 1
sureste  → 2
suroeste → 3

Y eso haría que nuestro modelo de regresión pensara que suroeste vale más que sureste, o que las regiones tienen un orden.

¿Fumar pesa en el costo?

Pero antes de aplicar estos cambios, verifiquemos si nuestra hipótesis es cierta: ¿fumar tiene realmente peso en el dataset?

sns.histplot(data=insurance_data, x="charges", hue="smoker", bins=30, kde=True)

En el histograma volvemos a ver los intervalos, ahora separados por grupo: casi todas las personas que no fuman (el 94 %) tienen un costo menor de 20 mil, y sus barras más altas llegan a unas 200 personas, mientras que las que sí fuman tienden a pagar seguros médicos mucho más caros.

La distribución azul (fumadores) es mucho más "plana" y está desplazada hacia la derecha, con su pico principal entre 30,000 y 40,000. Aunque hay fumadores con costos bajos, la masa de datos se concentra en rangos de costo mucho más altos que los de los no fumadores.

sns.boxplot(data=insurance_data, x="smoker", y="charges")

En este diagrama de caja, la línea del medio es la mediana, la caja azul contiene el 50 % central de los datos y los bigotes muestran el rango normal.

Los fumadores presentan una caja altísima, con una mediana de unos 34,000 y un bigote que llega casi a 64,000, lo que asocia fumar a costos médicos altísimos. Por el contrario, los no fumadores tienen una caja baja, con una mediana de unos 7,000, y la mayoría gasta entre 1,000 y 22,000.

Los círculos acumulados sobre los no fumadores son valores atípicos (outliers): se apilan verticalmente porque hay bastantes personas en esa situación, 46 no fumadores con gastos por encima de los 22,000.

Entrenamiento

Antes de entrar de lleno en esto, es importante plantear otras hipótesis además de la de los fumadores, porque a partir de ellas sabremos qué tipo de regresión hacer, simple o múltiple. Con esas hipótesis podemos mejorar el modelo comparando los distintos entrenamientos.

Para saber si nuestro modelo funciona correctamente, lo medimos con el error cuadrático medio (MSE). Si fuera un algoritmo de clasificación, usaríamos la exactitud (accuracy), que mide cuántas instancias se clasificaron correctamente.

En este caso, para asegurarnos de que el modelo funciona con datos reales, usamos la técnica que vimos antes: separar los datos.

• Train: estudiar (ver y aprender).
• Test: el examen final (evaluar con datos que nunca vio).

En otras palabras, el conjunto de datos se divide en subconjuntos más pequeños de entrenamiento y de prueba (validación). Es importante que las filas que están en test no estén en train, porque test contiene los valores que queremos predecir. Si el modelo los viera, estaría haciendo trampa: no puede estudiar sabiendo las respuestas.

Primero aplicamos el ColumnTransformer que preparamos:

insurance_data = pd.DataFrame(
    ct.fit_transform(insurance_data),
    columns=ct.get_feature_names_out()
)

remainder__ es el prefijo que el ColumnTransformer les pone a las columnas que deja pasar sin transformar (remainder="passthrough"), así que ahora smoker se llama remainder__smoker y charges, remainder__charges.

Vamos a entrenar dos modelos y compararlos: primero uno simple, con una sola variable (la de nuestra hipótesis, smoker), y después uno múltiple, con todas.

Regresión lineal simple: solo smoker

Una regresión lineal simple usa una sola variable de entrada; es exactamente el $y = mx + b$ del principio, donde $x$ es si la persona fuma (1) o no (0).

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
import numpy as np

# Una sola variable: smoker (usando el nombre corregido tras la transformación)
X_simple = insurance_data[["remainder__smoker"]]
y = insurance_data["remainder__charges"]

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    X_simple, y, test_size=0.2, random_state=42
)

model_simple = LinearRegression()
model_simple.fit(X_train, y_train)

y_pred = model_simple.predict(X_test)

print("Intercepto:", model_simple.intercept_)
print("Pendiente:", model_simple.coef_)
print("R²:", r2_score(y_test, y_pred))
print("RMSE:", np.sqrt(mean_squared_error(y_test, y_pred)))

Intercepto: 8578.322547999996
Pendiente: [23188.68587068]
R²: 0.6602486589056528
RMSE: 7262.641718240427

Leído con la recta del principio: el intercepto $b = 8{,}578$ es lo que el modelo predice para alguien que no fuma ($x = 0$), y la pendiente $m = 23{,}189$ es cuánto le suma por fumar. A un fumador ($x = 1$) le predice $8{,}578 + 23{,}189 = 31{,}767$.

residuos = y_test - y_pred

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(y_pred, residuos, alpha=0.5)
plt.axhline(0, color="red", linestyle="--")
plt.xlabel("Predicciones")
plt.ylabel("Residuos (real - predicho)")
plt.title("Residuos vs. Predicciones (Simple con smoker)")
plt.show()

Esta gráfica es perfecta para entender qué gana y qué pierde el modelo simple.

Lo que muestra. Ya no hay una nube continua, sino dos columnas verticales de puntos. La de la izquierda (unos $8,578) son los no fumadores: el modelo les predijo lo mismo a todos, sin importar su edad, su IMC o lo demás. La de la derecha (unos $31,767) son los fumadores. Cada punto dentro de una columna es una persona, y su altura es su residuo: qué tan lejos quedó su costo real del valor predicho para su grupo.

Lo que ganamos. El modelo ya distingue a fumadores de no fumadores, porque tiene la variable smoker: el error de cada grupo, en promedio, queda cerca de cero. Pero fíjate en la columna de los fumadores: sigue partida en dos. Arriba quedan los fumadores con obesidad (IMC de 30 o más), que pagan mucho más de lo predicho, y abajo los que no la tienen, que pagan mucho menos. Es la misma división que veremos en el modelo múltiple, solo que aquí cabe en una sola columna.

Lo que perdimos. Dentro de cada columna, los residuos siguen siendo enormes. En la de los fumadores hay puntos desde unos −15,000 hasta más de 30,000: hay fumadores cuyo costo real es de $20,000 y otros de $60,000, y el modelo les predice lo mismo a todos, $31,767. Esto ocurre porque el modelo ignora todo lo demás (edad, IMC, hijos, región) y solo usa smoker.

Regresión lineal múltiple: todas las variables

Ahora ponemos a prueba la hipótesis de antes: usar todas las variables a la vez. Esto es una regresión lineal múltiple, y para eso hay que separar X e y:

• X: todas las variables de entrada (edad, sexo, IMC, hijos, fumador, regiones).
• y: charges (lo que queremos predecir).

X = insurance_data.drop("remainder__charges", axis=1)
y = insurance_data["remainder__charges"].values

Preparamos los datos de train y test con la misma división (random_state=42), así que los dos modelos se evalúan con las mismas personas.

from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

Una vez separados los datos en train y test, es momento de entrenar nuestro modelo.

from sklearn.linear_model import LinearRegression
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

Después de esto, falta validar y predecir. Una de las cosas más importantes del proceso es que, una vez validado el modelo, podamos usarlo para predecir con datos nuevos (no para entrenarlo de nuevo), y así analizar si funciona correctamente con datos futuros. Si no quedamos satisfechos con este entrenamiento, planteamos hipótesis nuevas y vamos comparando.

y_pred = model.predict(X_test)

print("Training R2: ", model.score(X_train, y_train))
print("Testing R2: ", model.score(X_test, y_test))

Training R2:  0.7417255854683333
Testing R2:  0.7835929767120722

Training R² = 0.7417: con los datos de entrenamiento, el modelo explica el 74.17 % de la variabilidad del costo médico.

Testing R² = 0.7835: con los datos de prueba (que el modelo nunca vio), explica el 78.35 % de la variabilidad.

¿Qué significa esto en la práctica?

• El modelo es bueno: explica más del 74 % de los costos.
• El R² de test (0.78) es mayor que el de train (0.74).
• Eso significa que no hay overfitting. Si lo hubiera, el R² de train sería altísimo (por ejemplo, 0.95) y el de test, bajo (por ejemplo, 0.60).
• El modelo generaliza bien: funciona igual o mejor con datos que nunca vio.

Real contra predicho

Para visualizar mejor el valor de R² podemos usar una gráfica de valores reales contra valores predichos.

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(y_test, y_pred, alpha=0.5)
plt.plot([y_test.min(), y_test.max()],
         [y_test.min(), y_test.max()],
         color="red", linestyle="--")
plt.xlabel("Valores reales")
plt.ylabel("Valores predichos")
plt.title("Real vs. Predicho (R² = 0.78)")
plt.show()

Para entenderla, imagina que cada punto es una persona: el eje X es su costo real y el eje Y, el costo que predijo el modelo.

La línea punteada es la predicción perfecta ($y = x$). Si todos los puntos cayeran sobre ella, tendríamos R² = 1; cuanto más se dispersan alrededor de la línea, menor es el R².

¿Realmente nuestro modelo es bueno?

Ahora podemos hacer una gráfica de los residuos, es decir, del costo real menos el costo que predijo el modelo:

residuos = y_test - y_pred

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(y_pred, residuos, alpha=0.5)
plt.axhline(0, color="red", linestyle="--")
plt.xlabel("Predicciones")
plt.ylabel("Residuos (real - predicho)")
plt.title("Residuos vs. Predicciones")
plt.show()

¿Qué nos dice la gráfica de residuos?

Esta gráfica nos ayuda a ver si el modelo falla de forma aleatoria o si tiene un problema de fondo. Para leerla hay que fijarse en la distancia entre cada punto y la línea del cero, sin importar si el punto está arriba o abajo: esa distancia es el tamaño del error, y a mayor distancia, menos acertó el modelo.

Si el punto está arriba de la línea, el residuo es positivo y el modelo subestimó: predijo un costo menor al real. Por ejemplo, si predijo $10,000 y el costo real fue $20,000, el error fue de $10,000. Si el punto está abajo, el residuo es negativo y el modelo sobreestimó: predijo un costo mayor al real. Por ejemplo, si predijo $20,000 y el costo real fue $10,000, el error fue de menos $10,000. En ambos casos el error es de $10,000; solo cambia la dirección.

Ahora bien, cuando los residuos forman un patrón claro, como una "U" o dos bandas separadas, estamos ante un error sistemático y no aleatorio. La regresión lineal supone que los errores son ruido blanco: puntos dispersos, sin forma, alrededor de la línea del cero. Si aparece un patrón, significa que la relación entre las variables y el costo no es puramente lineal, o que falta algo importante, como una interacción entre el IMC y el hecho de fumar. En resumen, la gráfica de residuos no solo muestra cuánto se equivoca el modelo, sino cómo se equivoca, y en nuestro caso revela que una sola ecuación lineal no basta para capturar la complejidad de los datos.

Verificando si es un modelo confiable

from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
import numpy as np

y_train_pred = model.predict(X_train)
y_test_pred = model.predict(X_test)

# MSE
mse_train = mean_squared_error(y_train, y_train_pred)
mse_test = mean_squared_error(y_test, y_test_pred)

# RMSE
rmse_train = np.sqrt(mse_train)
rmse_test = np.sqrt(mse_test)

# R²
r2 = r2_score(y_test, y_test_pred)

print("MSE Train: ", mse_train)
print("MSE Test:  ", mse_test)
print("RMSE Train:", rmse_train)
print("RMSE Test: ", rmse_test)
print("R2:        ", r2)

MSE Train:  37277681.70201866
MSE Test:   33596915.85136149
RMSE Train: 6105.545160099847
RMSE Test:  5796.284659276275
R2:         0.7835929767120722

El RMSE (error promedio en dólares)

RMSE Train: 6105.54
RMSE Test:  5796.28

En promedio, nuestro modelo se equivoca por unos $5,796 cuando predice el costo médico de personas que nunca vio (test). El RMSE no es un promedio simple de los errores: al elevarlos al cuadrado antes de promediar, pesa más los errores grandes, así que es una medida algo exigente del error típico.

El R²

R2: 0.7835

El modelo explica el 78.35 % de la variabilidad de los costos médicos.

La relación entre train y test

Lo normal sería que el modelo funcionara mejor en train que en test. Aquí es al revés, pero la diferencia es pequeña. Algo importante que vale la pena destacar de nuevo es que no hay overfitting: el modelo no se aprendió los datos de memoria, sino la relación general, y la aplica bien a datos nuevos. El error en train y en test es casi el mismo, lo que indica que generaliza correctamente.

Por lo tanto, podemos decir que el modelo explica el 78 % de los costos, se equivoca en promedio por $5,796 y no muestra señales de overfitting. Es un modelo confiable.

¿Por qué quedan las bandas?

Ojo con una confusión fácil: cuando decimos "una sola recta" nos referimos a una sola ecuación lineal, no a una sola variable. Nuestro modelo múltiple tiene 8 coeficientes, uno por cada variable de entrada (edad, sexo, IMC, hijos, fumador y las tres regiones codificadas). Con tantas variables, esa "recta" ya no es una línea en 2D sino un plano o, en más dimensiones, un hiperplano; pero sigue siendo una única ecuación lineal.

Nuestro modelo falla de forma sistemática porque intenta ajustar una sola ecuación lineal a poblaciones distintas. Por un lado, sobreestima a la mayoría de los no fumadores (residuo negativo en 7 de cada 10): la recta se desplaza hacia arriba para intentar alcanzar los costos elevados de los fumadores, y les asigna predicciones más altas que sus costos reales. Por otro lado, a los fumadores los parte en dos: subestima a los fumadores con obesidad, es decir, con un IMC de 30 o más (residuo positivo en 29 de 30), y sobreestima a los fumadores sin obesidad (residuo negativo en 22 de 24). El modelo le suma a cada fumador el mismo extra por fumar, pero en los datos ese extra es mucho mayor cuando además hay obesidad. Este error no es aleatorio: es el que genera las bandas visibles en la gráfica de residuos.

El problema de fondo no es que falten variables: ya usamos varias (edad, IMC, hijos, sexo, región y fumador). El problema es que una sola ecuación no puede separar a fumadores de no fumadores, porque el efecto de algunas variables cambia según el grupo. Por ejemplo, en los fumadores cada punto de IMC sube el costo en unos $1,473, mientras que en los no fumadores apenas lo sube en $83. Para resolverlo, no basta con agregar más variables: hay que agregar interacciones (como imc * fumador) o separar los grupos y entrenar un modelo para cada uno.

Simple contra múltiple

El modelo simple explica menos (66 % contra 78 %) y se equivoca más ($7,262 contra $5,796), pero sus errores ya no mezclan a fumadores con no fumadores.

• Simple con smoker: elimina el error entre fumadores y no fumadores, pero deja mucho error dentro de cada grupo.
• Múltiple sin interacciones: mejor R², pero con error sistemático, porque una sola ecuación trata igual a los dos grupos.
• Múltiple con interacciones: debería combinar lo mejor de ambos, prediciendo bien y respetando las diferencias entre grupos.

Ese es el siguiente paso natural: agregar interacciones al modelo múltiple.

La fórmula de la regresión lineal múltiple

Para esto, primero hay que entender mejor qué es una regresión lineal múltiple. En síntesis, su fórmula es:

• $Y$: la variable a predecir (dependiente).
• $X_1, X_2$: las variables predictoras (independientes).
• $m_1, m_2$: los coeficientes o pendientes de cada variable.
• $b$: el término independiente (intercepto).
• $e$: el error cometido en la predicción.

Nuestro modelo tiene 8 variables (edad, sexo, IMC, hijos, fumador y 3 de región), así que la fórmula general para nuestro caso es:

O, con la notación estándar de estadística (es la misma; solo cambian las letras):

donde $b = \beta_0$ y $e = \varepsilon$.

Podemos ver los valores que aprendió nuestro modelo múltiple:

print("Intercepto:", model.intercept_)
print(pd.Series(model.coef_, index=X.columns))

Intercepto: -11931.219050326616
region__region_northwest     -370.677326
region__region_southeast     -657.864297
region__region_southwest     -809.799354
remainder__age                256.975706
remainder__sex                -18.591692
remainder__bmi                337.092552
remainder__children           425.278784
remainder__smoker           23651.128856
dtype: float64

Con ellos, la ecuación de nuestro modelo queda así:

Cada coeficiente es una $m$ propia: cada año de edad suma unos $257, cada punto de IMC unos $337, cada hijo unos $425, y fumar suma $23,651 de golpe. El sexo apenas pesa ($19), y las regiones restan un poco respecto al noreste, que es la región que quitamos con drop="first". El intercepto negativo no significa nada por sí solo: sería el costo de alguien con 0 años y un IMC de 0, que no existe; solo sirve para que la ecuación cuadre con los datos reales.

Y aquí se ve el problema de las bandas: fumar suma los mismos $23,651 a todos los fumadores, tengan o no obesidad. Una interacción como imc * fumador le daría al modelo un coeficiente extra para cobrarle más a quien fuma y además tiene un IMC alto.